题解示例，源码放在评论区倒数第三页了。
众所周知，现在很多人的题解都是因为格式问题或没有解析打回的。
如果想要知道如何使题解变得更加优秀，可以在本帖留言 @CPP 并且附上题解链接，lz 可以提出修改建议。
如果出现 某句话结尾未使用中文标点 请自行订正。
常见问题 1： 代码段未使用 markdown 格式。
解决方案： 在代码前加上 ```cpp，然后在代码后加上 ```。
例如：
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
```
效果：
#include <bits/stdc++.h>
如果只引用一行代码，那么只需要 ```代码``` 就行了，而且不需要换行。
常见问题 2： 变量名、数字、数学公式未使用 格式。
解决方案： 在变量名、数字、数学公式前加上 $，然后在这一些东西后加上 $，例如 $a + b$，效果 。
有的公式需要居中显示的话那么开头和结尾都用 $$ 就行了。
请不要进行无意义回复。
共 21 条回复
## 解题思路
等价于 $x ^ 2 + S(x) \times x = n$。
我们先拆成两个部分，一个部分是 $n \leq 10^3$ 的情况，另一部分是 $10^3 < n \leq 10^{18}$ 的情况。
对于第一种情况直接暴力即可。因为懒得考虑边界条件。
对于第二种情况，我们先发现 $x ^ 2$ 是大于等于 $0$ 的，而 $S(x) \times x$ 也是大于的等于 $0$ 的，所以要想 $x ^ 2 + S(x) \times x = n$ 成立的充要条件是 $x ^ 2 \leq n$，所以我们只需要枚举到 $\sqrt{n}$ 即可。但是 $\mathcal{O}(\sqrt{n})$ 也会超时。我们发现 $S(x)$ 远小于 $x$（当位数为 $10$ 位时 $S(x)$ 最大也就 $90$），所以直接从 $\frac{\sqrt{n}}{2}$ 开始枚举还是很浪费的。
我们定义 $x = \sqrt{n},i$ 为我们从 $x - i$ 开始枚举才能保证公式的值等于 $n$。
$$(x - i) ^ 2 + S(x - i) \times (x - i) = n$$
$$x ^ 2 - 2xi + i ^ 2 + S(x - i) \times (x - i) = n$$
$$n - 2xi + i ^ 2 + S(x - i) \times (x - i) = n$$
由于 $x - i$ 最多为 $10^9$（还取不到），因此 $S(x - i)$ 为 $90$ 左右。
$$n - 2xi + i ^ 2 + 90(x - i) = n$$
$$n - 2xi + i ^ 2 + 90x - 90i = n$$
$$i^2 - (2x + 90)i + 90x = 0$$
$$\Delta = b^2 - 4ac = 4x^2 + 360x + 8100 - 360x = 4n + 8100$$
$$\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{n + 2025}$$
$$\therefore i_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2x + 90 - 2\sqrt{n + 2025}}{2} = \frac{2 \times 10^9 + 90 - 2\sqrt{10^{18} + 2025}}{2} = 44.999998987500000000000512578125 \approx 45$$
$i_2$ 很明显更小，所以可以不用计算。因此经过粗略计算后我们可以得到当 $i$ 为 $45$ 时是可能满足这个式子的，但前面说了这是粗算，会存在一定的误差，因此我们让 $i = 100$ 保险一些，如果更加谨慎的话 $45 \leq i \leq 6\times 10^7$ 都可以取，反正又不会超时。
CODE：
```cpp
inline int s(int n) {
}
signed main() {
}
```
请在借鉴时忽略掉 $、`、# 前面的 \，这是多余的，times 等英文单词前面的 \ 是有意义的。
乘号：
cppp-pcpp，cpp。